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十进位值制、筹算和珠算

[作者:梅荣照]  [2007/8/3]
我国古代数学以计算为主,取得了十分辉煌的成就。其中十进位值制记数法、筹算和珠算在数学发展中所起的作用和显示出来的优越性,在世界数学史上也是值得称道的。

十进位值制记数法曾经被马克思(1818—1883)称为“最妙的发明之一”①。

从有文字记载开始,我国的记数法就遵循十进制。殷代的甲骨文和西周的钟鼎文都是用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万等字的合文来记十万以内的自然数的。例如二千六百五十六写作◆◆◆◆(甲骨文),六百五十九写作◆◆◆◆◆(钟鼎文)。这种记数法含有明显的位值制意义,实际上,只要把“千”、“百”、“十”和“又”的字样取消,便和位值制记数法基本一样了。

春秋战国时期是我国从奴隶制转变到封建制的时期,生产的迅速发展和科学技术的进步提出了大量比较复杂的数字计算问题。为了适应这种需要,劳动人民创造了一种十分重要的计算方法——筹算。我们认为筹算是完成于春秋战国时期,理由是:第一,春秋战国时期,农业、商业和天文历法方面有了飞跃的发展,在这些领域中,出现了大量比以前复杂得多的计算问题。由于井田制的废除,各种形状的私田相继出现,并相应实行按亩收税的制度,这就需要计算复杂形状的土地面积和产量;商业贸易的增加和货币的广泛使用,提出了大量比例换算的问题;适应当时农业需要的厉法,要计算多位数的乘法和除法。为了解决这些复杂的计算问题,才创造出计算工具算筹和计算方法筹算。第二,现有的文献和文物也证明筹算出现在春秋战国时期。例如“算”和“筹”二字出现在春秋战国时期的著作(如《仪礼》、《孙子》、《老子》、《法经》、《管子》、《荀子》等)中,甲骨文和钟鼎文中到现在仍没有见到这两个字。一二三以外的筹算数字最早出现在战国时期的货币(刀、布)上。《老子》提到:“善计者不用筹策”,可见这时筹算已经比较普遍了。因此我们说筹算是完成于春秋战国时期。这并不否认在春秋战国时期以前就有简单的算筹记数和简单的四则运算。

关于算筹形状和大小,最早见于《汉书·律历志》。根据记载,算筹是直径一分(合○·二三厘米)、长六寸(合一三·八六厘米)的圆形竹棍,以二百七十一根为一“握”。南北朝时期公元六世纪《数术记遗》和《隋书·律历志》记载的算筹,长度缩短,并且把圆的改成方的或扁的。这种改变是容易理解的:长度缩短是为了缩小布算所占的面积,以适应更加复杂的计算;圆的改成方的或扁的是为了避免圆形算筹容易滚动而造成错误。根据文献的记载,算筹除竹筹外,还有木筹、铁筹、玉筹和牙筹,还有盛装算筹的算袋和算子筒。唐代曾经规定,文武官员必须携带算袋。1971年八月中旬,在陕西宝鸡市千阳县第一次发现西汉宣帝时期(公元前73年到前49年)的骨制算筹三十多根,大小长短和《汉书·律历志》的记载基本相同。1975年上半年在湖北江陵凤凰山一六八号汉墓又发现西汉文帝时期(公元前179年到前157年)的竹制算筹一束,长度比千阳县发现的算筹稍大一点。1980年九月,在石家庄市又发现东汉初期(公元一世纪)的骨制算筹约三十根,长度和形状同《隋书·律历志》的记载相近,这说明算筹长度和形状的改变早在东汉初期已经开始。算筹的出土,为研究我国数学发展史提供了可贵的实物资料。

从而进行加、减、乘、除、开方以及其他的代数计算。

筹算一出现,就严格遵循十进位值制记数法。九以上的数就进一位,同一个数字放在百位就是几百,放在万位就是几万。这种记数法,除所用的数字和现今通用的印度-阿拉伯数字形式不同外,和现在的记数法实质是一样的。筹算是把算筹一面摆成数字,一面进行计算,它的运算程序和现今珠算的运算程序基本相似。记述筹算记数法和运算法则的著作有《孙子算经》(公元四世纪)、《夏侯阳算经》(公元五世纪)和《数术记遗》(公元六世纪)。负数出现后,算筹分成红黑两种,红筹表示正数,黑筹表示负数。算筹还可以表示各种代数式,进行各种代数运算,方法和现今的分离系数法相似。我国古代在数字计算和代数学方面取得的辉煌成就,和筹算有密切的关系。例如祖冲之的圆周率准确到小数第六位,需要计算正一万二千二百八十八边形的边长,把一个九位数进行二十二次开平方(加、减、乘、除步骤除外),如果没有十进位值制的计算方法,那就会困难得多了。

古巴比仑的记数法虽然有位值制的意义,但是它是六十进的,计算比较繁琐。古埃及的数字从一到十只有两个数字符号,从一百到一千万有四个数字符号,而且是象形的,例如用一个鸟表示十万。文化比较发达的古希腊,由于看重几何,轻视计算,记数方法十分落后,用全部希腊字母表示一到一

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